Question

已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．圆的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；
（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：．

Answer 1

(1) ；(2)；(3)证明见解析．

试题分析：(1)从双曲线方程中发现只有一个参数，因此我们只要找一个关系式就可求解，而这个关系式在中，，，，通过直角三角形的关系就可求得；(2)由(1)知双曲线的渐近线为，这两条渐近线在含双曲线那部分的夹角为钝角，因此过双曲线上的点作该双曲线两条渐近线的垂线，为锐角，这样这题我们只要认真计算，设点坐标为，由点到直线距离公式求出距离，利用两条直线夹角公式求出，从而得到向量的数量积；(3)首先 等价于，因此设，我们只要证，而可以由切线的方程与双曲线方程联立方程组得到，再借助切线方程得到，验证下是否有，注意上述情形是在时进行的，而时，切线为或，直接验证即可．
试题解析：（1）设的坐标分别为
因为点在双曲线上，所以，即，所以 
在中，，，所以           2分
由双曲线的定义可知：
故双曲线的方程为：                                     4分
（2）由条件可知：两条渐近线分别为        5分
设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为，则
则点到两条渐近线的距离分别为   7分
因为在双曲线：上，所以
又，
所以        10分
（3）由题意，即证：。
设，切线的方程为：                   11分
①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：

所以：
又  13分
所以            15分
②当时，易知上述结论也成立． 所以        16分
综上，，所以．