Question

（2012•珠海一模）已知函数f（x）=x³-ax²+2x，x∈R
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈（2，+∞）时，f(x)＞

1

2

x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用根的判别式，结合导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）x∈（2，+∞）时，f(x)＞

1

2

x恒成立，等价于x∈（2，+∞）时，x+

3

2x

＞a，求出左边对应函数的最值，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-2ax+2，△=（-2a）²-4×3×2=4a²-24
①当△≥0，即a≤-

6

或a≥

6

时，f（x）在R上为增函数
②当△＜0，即-

6

＜a＜

6

时，f′（x）=3x²-2ax+2有两个零点x₁，x₂，
且x1=

a- a2-6

3

，x2=

a+ a2-6

3

此时f（x）的单调增区间为：(-∞，

a- a2-6

3

)，(

a+ a2-6

3

，+∞)
单调减区间为：(

a- a2-6

3

，

a+ a2-6

3

)
（2）x∈（2，+∞）时，f(x)＞

1

2

x恒成立，等价于x∈（2，+∞）时，x3-ax2+2x＞

1

2

x恒成立，等价于x∈（2，+∞）时，x3+

3

2

x＞ax2恒成立，等价于x∈（2，+∞）时，x+

3

2x

＞a，
令g(x)=x+

3

2x

，则g′(x)=1-

3

2x2

，x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故x∈（2，+∞），g(x)＞g(2)=

7

4

，所以a≤

7

4

．

点评：本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．