题目内容
已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．
（1）求
与
的夹角及|
|．
（2）求三角形ABC的面积．
（1）求
| AB |
| AC |
| AB |
（2）求三角形ABC的面积．
分析：（1）根据点A、B、C的坐标算出向量
、
的坐标，由向量模的公式加以计算，可得
=
=
，再利用空间向量的夹角公式，算出
与
的夹角余弦等于
，从而得到
与
的夹角为
；
（2）利用三角形的面积公式，代入（1）中算出的
、
与∠BAC的大小，即可算出△ABC的面积．
| AB |
| AC |
| |AB| |
| |AC| |
| 14 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| π |
| 3 |
（2）利用三角形的面积公式，代入（1）中算出的
| |AB| |
| |AC| |
解答：解：（1）∵A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），
∴
=
-
=（-2，-1，3），
=
-
=（1，-3，2），
由此可得
=
=
，
=
=
．
设
与
的夹角为θ，则cosθ=
=
=
，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=
，即
与
的夹角为
；
（2）∵
=
=
，
与
的夹角为
，即∠BAC=
，
∴△ABC的面积S=
•
•sin∠BAC=
×
×
×
=
．
∴
| AB |
| OB |
| OA |
| AC |
| OC |
| OA |
由此可得
| |AB| |
| (-2)2+(-1)2+32 |
| 14 |
| |AC| |
| 12+(-3)2+22 |
| 14 |
设
| AB |
| AC |
| ||||
|
|
| -2+3+6 | ||||
|
| 1 |
| 2 |
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=
| π |
| 3 |
| AB |
| AC |
| π |
| 3 |
（2）∵
| |AB| |
| |AC| |
| 14 |
| AB |
| AC |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| |AB| |
| |AC| |
| 1 |
| 2 |
| 14 |
| 14 |
| ||
| 2 |
7
| ||
| 2 |
点评：本题给出空间点A、B、C的坐标，求
与
的夹角大小与三角形ABC的面积．着重考查了空间向量的坐标运算、向量的数量积公式及其运算性质、三角形的面积公式等知识，属于中档题．
| AB |
| AC |
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