Question

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．
（Ⅰ）求以AB、AC为边的平行四边形的面积；
（Ⅱ）若向量

a

分别与

AB

、

AC

垂直，且|a|=

3

，求

a

的坐标．

Answer 1

分析：（1）以AB、AC为边的平行四边形的面积我们选择S=|

AB|•

|

AC|

sinθ，其中θ是

AB

，

AC

的夹角．
（2）设出

a

的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可．

解答：解：（Ⅰ）

AB

=(-2，-1，3)，

AC

=(1，-3，2)，|

AB

|=

14

，|

AC

|=

14

cos∠BAC=

AB • AC

| AB |•| AC |

=

1

2

，∴∠BAC=60°…（4分）
∴S=2×

1

2

×

14

×

14

sin60°=7

3

…（6分）
（Ⅱ）设

a

=（x，y，z），∵

a

⊥

AB

，

a

⊥

AC

，且|

a

|=

3

…（8分）
∴

-2x-y+3z=0 x-3y+2z=0 x2+y2+z2=3

，解得

x=1 y=1 z=1

或

x=-1 y=-1 z=-1

…（11分）
∴

a

=（1，1，1）或

a

=（-1，-1，-1）…（12分）

点评：本题考查向量背景下平行四边形的面积及向量垂直的充要条件．