题目内容

在数列{an}中，a1=2，an+1=2an-n+1，n∈N*
（I）证明数列{an-n}是等比数列；
（II）设bn=
an
2n
，求数列{bn}的前n项和Sn．
（I）由题设an+1=2an-n+1，可得an+1-（n+1）=2（an-n），
又a1-1=1，所以数列{an-n}首项为1，公比为2的等比数列；
（II）由（I）可知an-n=2n-1，于是数列{an}的通项公式为an=2n-1+n，
所以数列bn=
an
2n
=
1
2
+n(
1
2
)n，
所以Sn=
n
2
+[1•
1
2
+2•
1
22
+3•
1
23
+…+（n-1）
1
2n-1
+n
1
2n
]，
设Tn=1•
1
2
+2•
1
22
+3•
1
23
+…+（n-1）
1
2n-1
+n
1
2n
   ①
所以
1
2
Tn=1•
1
22
+2•
1
23
+3•
1
24
+…+（n-1）
1
2n
+n
1
2n+1
  ②
①-②可得
1
2
Tn=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-n
1
2n+1

=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-n
1
2n+1
=1-
1
2n
-n
1
2n+1
=1-
n+2
2n+1
，
故Tn=2-
n+2
2n
，故Sn=
n
2
+2-
n+2
2n
=
n+4
2
-
n+2
2n
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），则数列{an}的通项公式为an=
2-21-n
2-21-n
．
在数列{an}中，a 1=
1
3
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
an
n
}的前n项和为Tn，证明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．
在数列{an}中，a=
12
，前n项和Sn=n2an，求an+1．
在数列{an}中,a1=a,前n项和Sn构成公比为q的等比数列,________________.

(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

在数列{an}中，a，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项和为Tn，证明：．

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