Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂分别为左，右焦点，离心率为

1

2

，点A在椭圆C上，|

AF1

|=2，|

AF2

||

F1A

|=-2

AF2

•

F1A

，过F₂与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得以线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由已知e=

1

2

，∴2c=a，即|F₁F₂|=a
∵|

AF1

|=2，∴|

AF2

|=2a-2
又∵|

AF2

||

F1A

|=-2

AF2

•

F1A

，
∴cos∠F1AF2=

- AF2 • F1A

| AF2 || F1A |

=

1

2

，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得a2=4+(2a-2)2-2×2(2a-2)×

1

2

，
即a²-4a+4=0
∴a=2
∴c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）假设存在点M（m，0）（0＜m＜1）满足条件，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线l的方程为y=k（x-1），
联立：

y=k(x-1) 3x2+4y2=12

?(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
∵直线l过焦点，∴△＞0
∴

x1+x2= 8k2 3+4k2

，

x1x2= 4k2-12 3+4k2

∵线段MP，MQ为邻边的四边形是菱形
∴(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0
∵

MP

=(x1-m，y1)，

MQ

=(x2-m，y2)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，

MP

+

MQ

=(x2+x1-2m，y2+y1)，
∴(

MP

+

MQ

)•

PQ

=(x2+x1-2m)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=0，
∵x₂-x₁≠0，k=

y2-y1

x2-x1

∴x₂+x₁-2m+k（y₂+y₁）=0，
∵y₂+y₁=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₂+x₁）-2k
∴x₂+x₁-2m+k²（x₂+x₁-2）=0，
∴

8k2

3+4k2

-2m+k2(

8k2

3+4k2

-2)=0，
∴m=

k2

3+4k2

，
∴k2=

3m

1-4m

＞0?0＜m＜

1

4

，
又∵M（m，0）在线段OF₂上，则0＜m＜1，
故存在m∈(0，

1

4

)满足题意．