Question

设向量

OA

=(3，-

3

)，

OB

=(cosθ，sinθ)，其中0≤θ≤

π

2

．
（1）若|

AB

|=

13

，求tanθ的值；
（2）求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用向量的减法求出

AB

，在代入向量的模长计算公式整理即可求出tanθ的值；
（2）先利用θ的范围求出∠AOB，在代入三角形面积计算公式，利用θ的取值范围，即可求出△AOB面积的最大值．

解答：解：（1）：依题意得，

AB

=

OB

-

OA

=(cosθ-3，sinθ+

3

)，…（2分）
所以|

AB

|2=(cosθ-3)2+(sinθ+

3

)2=13-6cosθ+2

3

sinθ=13，…（4分）
所以

3

sinθ=3cosθ．因为cosθ≠0，所以tanθ=

3

．…（7分）
（2）：由0≤θ≤

π

2

，得∠AOB=θ+

π

6

．…（9分）
所以S△AOB=

1

2

|

OA

||

OB

|sin∠AOB=

1

2

×2

3

×1×sin(θ+

π

6

)=

3

sin(θ+

π

6

)…（12分）
所以当θ=

π

3

时，△AOB的面积取得最大值

3

．…（14分）

点评：本题主要考查平面向量的综合知识．解决第二问的关键是会用三角形的面积计算公式，且注意考虑角的范围．