题目内容

已知向量
a
=(sinωx，sinωx)，
b
=(sinωx，
3
coxωx)，其中ω＞0，设函数f（x）=2
a
•
b
，已知f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=log2f（x），求g（x）的定义域和单调递增区间．
（3）证明：直线x=
5π
6
是g（x）图象的一条对称轴．
（1）f(x)=2(sin2ωx+
3
sinωx•cosωx)=1-cos2ωx+
3
sin2ωx=2(sin2ωx•
3
2
-cos2ωx•
1
2
)+1=2sin(2ωx-
π
6
)+1
∵ω＞0，
∴T=
2π
2ω
=
π
ω
=π，
∴ω=1，
∴f(x)=2sin(2x-
π
6
)+1
（2）g(x)=log2[2sin(2x-
π
6
)+1]，
由2sin(2x-
π
6
)+1＞0得：sin(2x-
π
6
)＞-
1
2
，
∴2kπ-
π
6
＜2x-
π
6
＜
7π
6
+2kπ
∴kπ＜x＜kπ+
2π
3
(k∈Z)，
即g（x）的定义域为(kπ，kπ+
2π
3
)(k∈Z)
∴2kπ-
π
6
＜2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
?kπ＜x≤kπ+
π
3
，
故增区间为(kπ，kπ+
π
3
](k∈Z)．
（3）设
5π
6
+x在g（x）的定义域中，则对一切k∈Z，有kπ＜
5π
6
+x＜kπ+
2π
3
，
∴-kπ-
2π
3
＜-
5π
6
-x＜-kπ
∴(-k+1)π＜
5π
6
-x＜(-k+1)π+
2π
3
(k∈Z)
∴点
5π
6
-x也在g（x）的定义域中．
又 g(
5π
6
+x)=log2(-2cos2x+1)，g(
5π
6
-x)=log2(-2cos2x+1)
∴g(
5π
6
+x)=g(
5π
6
-x)，故g（x）的图象关于直线x=
5π
6
对称．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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