Question

【题目】已知函数

（1）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：对于任意的正整数，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

（1）求出的导数，两次求导，分三种情况讨论，当时，当时，当时，分别求出单调区间，求得最小值，即可得到的范围；（2）对要证的不等式等价变形，可得①，且②，运用（1）中的结论，对①相当于（1）中， 对②相当于（1）中，利用单调性即可得证．

（1）由，得

，则，

①当时， ，则在上递增，

∴，∴在上递增，

∴，∴

②当时，，则在上递减，

∴，∴在上递减，

∴，且仅有，

∴时，不等式不恒成立，

③当时，令，

当时，，

∴在上递减，从而，

∴在上递增，即，且仅有，

∴时，不等式不恒成立，

综上，的取值范围为：．

（2）要证对，不等式恒成立，

即证，

即证，

即证①，且②，

对①相当于（1）中，有在上递减，

即而且仅有，取，有成立，

对②相当于（1）中，有，而且仅有，

取，有成立，

∴对，不等式恒成立．