Question

7．设函数f（x）=log₂（4x）•log₂（2x）的定义域为[$\frac{1}{4}$，4]，
（1）若t=log₂x，求t的取值范围；
（2）求y=f（x）的最大值与最小值，并求出最值时对应的x的值．
（3）解不等式f（x）-6＞0．

Answer 1

分析 （1）由x∈[$\frac{1}{4}$，4]和t=log₂x，结合对数函数的值域可得；
（2）化简换元可得y=t²+3t+2，由二次函数区间的最值可得；
（3）不等式f（x）-6＞0可化为t²+3t-4＞0，解t的范围结合对数函数的单调性可得．

解答 解：（1）∵x∈[$\frac{1}{4}$，4]，∴t=log₂x∈[log₂$\frac{1}{4}$，log₂4]
∴t的取值范围为[-2，2]；
（2）化简可得y=log₂（4x）•log₂（2x）
=（log₂4+log₂x）（log₂2+log₂x）
=（2+t）（1+t）=t²+3t+2，
由二次函数可得当t=-$\frac{3}{2}$时，y取最小值-$\frac{1}{4}$，此时x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
当t=2时，y取最大值12，此时x=1；
（3）不等式f（x）-6＞0可化为t²+3t-4＞0，
解得t＜-4或t＞1即log₂x＜-4或log₂x＞1，
即log₂x＜log₂$\frac{1}{16}$或log₂x＞log₂2，
解得x＜$\frac{1}{16}$或x＜2，故解集为{x|x＜$\frac{1}{16}$或x＜2}

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及换元法和二次函数的最值以及对数不等式的解集，属中档题．