Question

设x、y、z是正实数,且xyz=1.

       证明.                   ①

      

Answer 1

证明:要使①式成立,则只需证?

       x⁴+x³+y⁴+y³+z⁴+z³≥(1+x)(1+y)(1+z),                                             ②?

       要证明②式成立,则需证一个更强的不等式?

       x⁴+x³+y⁴+y³+z⁴+z³≥［(x+1)³+(y+1)³+(z+1)³］,?

       为此设f(t)=t⁴+t³- (t+1)³,?

       g(t)=(t+1)·(4t²+3t+1),?

       则f(t)=  (t-1)g(t),且g(t)在(0,+∞)上是严格递增函数.?

       ∵x⁴+x³+y⁴+y³+z⁴+z³-［(x+1)³+(y+1)³+(z+1)³］?

       =+f(y)+f(z)?

       =(x-1)g(x)+(y-1)g(y)+(z-1)g(z),?

       ∴只要证明最后一个表达式非负即可.?

       假设x≥y≥z,则g(x)≥g(y)≥g(z)>0,由xyz=1得x≥1,z≤1.?

       ∵(x-1)g(x)≥(x-1)g(y),(z-1)g(y)≤(z-1)g(z),?

       ∴(x-1)g(x)+(y-1)g(y)+(z-1)g(z)≥［(x-1)+(y-1)+(z-1)］g(y)= (x+y+z-3)g(y)≥(-3)g(y)≥0,?

即②式成立.故原不等式成立.?

       温馨提示:本题证明过程中除了运用分析法,还结合构造法、综合法等.注意方法的交替使用.