Question

如图已知：菱形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，，点分别是线段的中点.

（1）求证：平面平面;
（2）点在直线上，且//平面，求平面与平面所成角的余弦值。

Answer 1

(1)证明详见解析；（2）.

试题分析：（1）先证，由面面垂直的性质定理得到平面，所以，由勾股定理证，所以由线面垂直的判定定理得平面，所以面面垂直的判定定理得平面平面；（2）首先建立空间直角坐标系，再写出各点坐标，由共面向量定理，得，所以求出，得出点的坐标是:，由（1）得平面的法向量是，根据条件得平面的法向量是，所以.
试题解析：（1）证明：在菱形中，因为，所以是等边三角形，
又是线段的中点，所以，
因为平面平面，所以平面，所以；  2分
在直角梯形中，，，得到：，
从而，所以，        4分
所以平面，又平面，所以平面平面；   6分
（2）由（1）平面，如图，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，
   7分
设点的坐标是，则共面，
所以存在实数使得：
，
得到:.即点的坐标是:,    8分
由（1）知道：平面的法向量是，
设平面的法向量是，
则：，         9分
令，则，即，
所以，                  11分
即平面与平面所成角的余弦值是.             12分