Question

8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）和动直线l：y=kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b≠0）相交于A（x₁，y₂），N）x₂，y₂）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为k_OA•k_OB=$\sqrt{3}$恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（　　）

• A． （-$\sqrt{3}$p，0）
• B． （-2$\sqrt{3}$p，0）
• C． （-$\frac{\sqrt{3}p}{3}$，0）
• D． （-$\frac{2\sqrt{3}p}{3}$，0）

Answer 1

分析 AB的方程与抛物线方程联立，消去y，由根与系数的关系，利用k_OA•k_OB=$\sqrt{3}$，求出b的值，即可得出直线AB过定点．

解答 解：将直线与抛物线联立，消去y，得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2kb+2p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$；
∵k_OA•k_OB=$\sqrt{3}$，∴y₁y₂=$\sqrt{3}$x₁x₂，
∴y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）
=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=$\frac{2bp}{k}$；
∴$\frac{2bp}{k}$=$\sqrt{3}$•$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，
解得b=$\frac{2pk}{\sqrt{3}}$，
∴y=kx+$\frac{2pk}{\sqrt{3}}$=k（x+$\frac{2p}{\sqrt{3}}$）
令x=-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，得y=0，
∴直线过定点（-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，0）．
故选D．

点评 本题考查了直线与抛物线的综合应用问题，考查韦达定理的运用，属于中档题目．