Question

在直角坐标系xOy中，点M，点F为抛物线C：y＝mx2(m＞0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．

(1)求m的值；

(2)过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA，FM，FB的斜率分别为k1，k2，k3，问k1，k2，k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：(1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为，线段MF的中点

N在抛物线C上，

∴－＝m,8m2＋2m－1＝0，

∴m＝(m＝－舍去)．

(2)由(1)知抛物线C：x2＝4y，F(0,1)．

设直线l的方程为y＋＝k(x－2)，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

得x2－4kx＋8k＋2＝0，

Δ＝16k2－4(8k＋2)＞0，

∴

由根与系数的关系得

假设k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，则k1＋k3＝2k2.而k1＋k3＝

＝，

k2＝＝－，

∴＝－，8k2＋10k＋3＝0，

解得k＝－(符合题意)或k＝－(不合题意，舍去)．

∴直线l的方程为y＋＝－(x－2)，

即x＋2y－1＝0.

∴k1，k2，k3能成公差不为零的等差数列，

此时直线l的方程为x＋2y－1＝0.