Question

【题目】已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）存在常数使得恒成立.

【解析】

（Ⅰ）由题意由题知解得，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的准线方程，设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C及D，存在λ，使得k1＝λk恒成立．

（Ⅰ）由题知解得

所以求椭圆E的方程为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1．

由解得或

得或；均有．

猜测存在．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），C（x1，y1），D（x2，y2）．

由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．

则

故

0．

所以存在常数使得恒成立．