Question

7．若关于x的不等式${4^x}-{log_a}x≤\frac{3}{2}$在$x∈（0，\frac{1}{2}]$上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{4}，1）$
• B． $（0，\frac{1}{4}]$
• C． $[\frac{3}{4}，1）$
• D． $（0，\frac{3}{4}]$

Answer 1

分析 两个函数的恒成立问题转化为最值问题，此题4^x-log_ax≤$\frac{3}{2}$对x∈（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，函数$y={4^x}-\frac{3}{2}$的图象不在y=log_ax图象的上方．对数函数另一方面要注意分类对底数a讨论．即可求解

解答 解：由题意得${4^x}-\frac{3}{2}≤{log_a}x$在$x∈（0，\frac{1}{2}]$上恒成立，
即当$x∈（0，\frac{1}{2}]$时，函数$y={4^x}-\frac{3}{2}$的图象不在y=log_ax图象的上方，
由图知：当a＞1时，函数$y={4^x}-\frac{3}{2}（{0＜x≤\frac{1}{2}}）$的图象在y=log_ax图象的上方；
当0＜a＜1时，${log_a}\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}$，解得$\frac{1}{4}≤a＜1$．
故选：A．

点评 本题考查了函数在其定义域内值域的问题，两个函数的恒成立问题转化为最值问题．对数函数另一方面要注意分类对底数a讨论．属于中档题．