已知f(x)=-4cos2x+4$\sqrt{3}$asinxcosx.将f(x)的图象向左平移$\frac{π}{4}$.再向上平移2个单位后.所得图象关于x=$\frac{π}{12}$对称的最小正周期.并求f(x)在[-$\frac{π}{6}$.$\frac{π}{6}$]上的值域(2)在锐角△ABC中.角A.B.C的对边的长分别为a.b.c.已知若f(A)=0.b=1.三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知f（x）=-4cos²x+4$\sqrt{3}$asinxcosx，将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$，再向上平移2个单位后，所得图象关于x=$\frac{π}{12}$对称
（1）求实数a和f（x）的最小正周期，并求f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的值域
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，已知若f（A）=0，b=1，三角形ABC的面积S=$\sqrt{3}$，求c和sinC的值．

分析（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2$\sqrt{3}$asin2x-2cos2x-2，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x），又g（x）关于x=$\frac{π}{12}$对称，从而可得：g（0）=g（$\frac{π}{6}$），即可解得a，得到f（x）的解析式，由周期公式可求f（x）的最小正周期；由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$的范围，由正弦函数的图象和性质即可得解．
（2）由（1）及已知可得4sin（2A-$\frac{π}{6}$）-2=0，解得A的值，又由S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$，可解得c的值，由cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$及余弦定理可得a的值，由正弦定理即可求得sinC的值．

解答解：（1）f（x）=-4cos²x+4$\sqrt{3}$asinxcosx=2$\sqrt{3}$asin2x-2cos2x-2，…1分
向左平移$\frac{π}{4}$，再向上平移2个单位后得：g（x）=2sin2x+2$\sqrt{3}$acos2x，…2分
又g（x）关于x=$\frac{π}{12}$对称，从而可得：g（0）=g（$\frac{π}{6}$），可得：2$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}+\sqrt{3}a$，解得a=1…4分
∴f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2，
∴f（x）的最小正周期为π，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
∴可得：2x∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，
∴-1≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）$≤\frac{1}{2}$，
∴f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的值域为[-6，0]…6分
（2）由f（A）=4sin（2A-$\frac{π}{6}$）-2=0，得A=$\frac{π}{6}$（A=$\frac{π}{2}$要舍去），
又由三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$，可得c=4$\sqrt{3}$…9分
由cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$及余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=1+48-2×$1×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=37，a=$\sqrt{37}$，
由正弦定理：$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$可得sinC=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{37}}$=$\frac{2\sqrt{111}}{37}$…12分．