Question

已知圆O：x²+y²=1过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点F₁，F₂，过F₁且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3，过椭圆上任意一点P引圆O的切线PA，PB，A，B为切点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求三角形PAB面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由圆O：x²+y²=1过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点F₁，F₂，过F₁且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3，建立方程，求出几何量，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）先求出直线AB的方程，可得点P到直线AB的距离，AB，求出三角形PAB面积，利用导数法，即可求三角形PAB面积的取值范围．

解答： 解：（I）由题意a²-b²=c²=1，椭圆过点（-1，

3

2

），∴

(-1)2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，
∵a²-b²=1，∴a²4，b²=3，∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则直线PA的方程为y-y₁=-

x1

y1

(x-x1)，
把x₁²+y₁²=1代入并化简的直线PA的方程为x₁x+y₁y=1，
由于P（x₀，y₀）在直线PA上，∴x₁x₀+y₁y₀=1，
同理x₂x₀+y₂y₀=1，
∴直线AB的方程为x₀x₁+y₀y₁=1，
点P到直线AB的距离为d=

x02+y02-1

x02+y02

，AB=2

x02+y02-1 x02+y02

令t=

x02+y02-1

，则t=

1 4 x02+2

∵x₀∈[-2，2]，∴t∈[

2

，

3

]，
∴S=f（t）=

1

2

AB•d=

t3

t2+1

，
∴f′（t）=

t4+3t2

(t2+1)2

＞0，
∴f（t）在[

2

，

3

]上单调递增，
∴S=f（t）∈[

2 2

3

，

3 3

4

]．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，属于中档题．