Question

在三棱锥A-BCD中，所有棱长都相等，过点A作底面BCD的垂线，垂足为H，点M是AH的中点，则∠BMC=

 

．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：数形结合,空间位置关系与距离

分析：根据已知先求得BH的长，从而可求MH，BM，CM的值，由勾股定理可得BC²=MB²+CM²，可得BM⊥MC，即可求得∠BMC的值．

解答：
解：设三棱锥A-BCD中，棱长为1，如图，在底面BCD中，连接BH交CD于F点，连接CH交BD于E点，
根据正三棱锥的特征，则△BEH∽△BFD，有

BH

BD

=

BE

BF

，即

BH

1

=

1 2

3 2

，可得BH=

1 2

3 2

=

3

3

，
∴AH=

AB2-BH2

=

6

3

∴MH=

1

2

AH=

6

6

∴BM=

BH2+MH2

=

2

2

同理可证，CM=

CH2+MH2

=

2

2

BC=1
∴BC²=MB²+CM²=1
∴BM⊥MC
∴则∠BMC=

π

2

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，正确的作出图形，分析边角关系是关键，属于基本知识的考查．