题目内容

函数f（x）=2cos²x-（sinx+cosx）²（x∈R）取得最大值时，自变量x的集合是________．

$\text{[math]}$
分析：通过展开（sinx+cosx）²，利用二倍角公式，两角和的余弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数取得最大值，直接结合余弦函数的最值，求出x的集合．
解答：函数f（x）=2cos²x-（sinx+cosx）²=cos2x-sin2x= $\text{[math]}$ cos（2x+ $\text{[math]}$ ），
显然当2x+ $\text{[math]}$ =2kπ，k∈Z时函数取得最大值，此时x= $\text{[math]}$ ，
所求自变量x的集合是： $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，注意二倍角公式的应用，以及基本三角函数的最值的计算与转化．