Question

【题目】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°
5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：选择（2），计算如下：
sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ，故 这个常数为 ．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ．
证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+ ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=sin2α+ cos2α+ sin2α+ sinαcosα﹣ sinαcosα﹣ sin2α= sin2α+ cos2α= ．
（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= + ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=1﹣ + （cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣ sin2α﹣ sin2α
=1﹣ + cos2α+ sin2α﹣ sin2α﹣ =1﹣ ﹣ + = ．
【解析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ，可得这个常数的值．
（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．
证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为 + ﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即 1﹣ + cos2α+ sin2α
﹣ sin2α﹣ ，化简可得结果