Question

【题目】已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， 为椭圆 上位于第一象限内的一点.

（1）若点 的坐标为 ，求椭圆 的标准方程；

（2）设 为椭圆 的左顶点， 为椭圆 上一点，且 ，求直线 的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：

（1）由椭圆的离心率为得到，再根据点在椭圆上得到，由以上两式可得，从而可得椭圆的方程。（2）由题意可得椭圆的方程为，设直线 的方程为 （ ），,解方程组可得，同样可求得，根据可得，由解得后即可得到直线的斜率。

试题解析：

（1）∵椭圆的离心率为，

∴，

∴ ，

∴ ①

∵点在椭圆上，

∴②

由①②解得 ， ，

∴椭圆的方程为。

（2）由（1）可知 ，即

∴椭圆的方程为，即，

∴点，

设直线 的方程为 （ ），,

由 解得，

∵，

∴。

∵ ，∴ ，

于是设直线的方程为（ ）

由 消去整理得

，

解得 或（舍去）

∴ 。

又，

∴ ，

∴ ，即，

∴ （ ）

解得，

∴。

即直线的斜率为。