Question

如图，矩形纸片ABCD的边AB=24，AD=25，点E、F分别在边AB与BC上．现将纸片的右下角沿EF翻折，使得顶点B翻折后的新位置B₁恰好落在边AD上．设

BE

EF

=t，EF=l，l关于t的函数为l=f（t），试求：
（1）函数f（t）的解析式；
（2）函数f（t）的定义域．

Answer 1

分析：（1）先设∠BFE=θ，则t=sinθ．根据边、角之间的关系得到：lsinθ+lsinθcos2θ=24，由此解得l=

24

sinθ+sinθcos2θ

=

24

sinθ(1+cos2θ)

=

24

sinθ(2-2sin2θ)

=

12

sinθ(1-sin2θ)

．即可；
（2）从两个方面考虑：一方面，当点E与点A重合时，θ取最大值为

π

4

，t=sinθ取最大值为

2

2

；另一方面，当点E向右运动时，BE长度变小，为保持点B₁在边AD上，则点F要向上运动，当点F与点C重合时，sinθ取得最小值．从而求得函数f（t）的定义域．

解答：解：（1）设∠BFE=θ，则t=sinθ．
由于∠B₁FE=∠BFE=θ，∠FB1E=∠FBE=

π

2

，
则∠AB1E=π-2θ-

π

2

=

π

2

-2θ，即∠AEB₁=2θ．
而BE=lsinθ，AE=B₁Ecos2θ=lsinθcos2θ，AE+BE=AB=24，
所以lsinθ+lsinθcos2θ=24，
解得l=

24

sinθ+sinθcos2θ

=

24

sinθ(1+cos2θ)

=

24

sinθ(2-2sin2θ)

=

12

sinθ(1-sin2θ)

．
故l=f(t)=

12

t-t3

．
（2）一方面，当点E与点A重合时，θ取最大值为

π

4

，t=sinθ取最大值为

2

2

．．（10分）
另一方面，当点E向右运动时，BE长度变小，为保持点B₁在边AD上，则点F要向上运动，
当点F与点C重合时，sinθ取得最小值．
又当点F与点C重合时，有25tanθ+25tanθcos2θ=24，
化简得，sinθ•cosθ=

12

25

，结合sin²θ+cos²θ=1，0＜θ＜

π

4

，解之得sinθ=

3

5

．
所以sinθ∈[

3

5

，

2

2

]，从而，函数f（t）的定义域为t∈[

3

5

，

2

2

]．

点评：在求实际问题对应的函数的解析式，我们一定要进一步分析自变量的取值范围，这不仅是为了让函数的解析式更准确，而且为利用函数的解析式求函数的值域，最值、单调性、奇偶性等打好基础．