Question

2．设四边形ABCD为平行四边形，|$\overrightarrow{AB}$|=8，|$\overrightarrow{AD}$|=3，若点M，N满足$\overrightarrow{DM}$=3$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{BN}$=2$\overrightarrow{NC}$，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MN}$=9．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{MN}$，代入数量积计算．

解答 解：∵$\overrightarrow{DM}$=3$\overrightarrow{MC}$，$\overrightarrow{BN}$=2$\overrightarrow{NC}$，∴$\overrightarrow{DM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{MC}=\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$=-$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overline{AD}$．
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MN}$=（$\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overline{AD}$）=$\frac{3}{16}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$-$\frac{1}{3}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$=$\frac{3}{16}$×8²-$\frac{1}{3}$×3²=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．