Question

必做题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知函数f（x）=ln（ax+1）+

1-x

1+x

，x≥0，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，可得f'（1）=0，即可求得a的值；
（2）求导函数，分类讨论：a≥2，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上递增，f（x）的最小值为f（0）=1；0＜a＜2，可得f（x）在x=

2-a a

处取得最小值f（

2-a a

）＜f（0）=1，由此可得a的取值范围．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

．
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f'（1）=0，∴

2a-2

4(a+1)

=0，∴a=1；
（2）f′（x）=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0，1+x＞0．
当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）≥0，f（x）递增，f（x）的最小值为f（0）=1．
当0＜a＜2时，由f′（x）＞0，解得x＞

2-a a

；由f′（x）＜0，解得x＜

2-a a

．
∴f（x）的单调减区间为（0，

2-a a

），单调增区间为（

2-a a

，+∞）．
于是，f（x）在x=

2-a a

处取得最小值f（

2-a a

）＜f（0）=1，不合．
综上可知，若f（x）得最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞） …10分

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，正确求导是关键．