Question

【题目】函数，.

（1）求函数的单调区间及极值；

（2）若，是函数的两个不同零点，求证：①；②.

Answer 1

【答案】（1）在递减，递增，，无极大值（2）见解析

【解析】分析：（1）求出，解不等式得增区间，解不等式得减区间，从而也可得到极值；

（2）①先确定函数的变化趋势，由函数式，知或时，都有，从而要有两个零点，则必有，从而得．因此两个零点，不妨设，通过构造函数，由的单调性可证，即，最后由的单调性，得证，②证明：令，然后证明＝，由，得，计算

，由由得，再由在上的单调性可证结论．

详解：（1）定义域：

令，则，令，则

∴在递减，递增

∴，无极大值

（2）由（1）知时，；时，

要使有两个不同零点，则即

不妨设，

①证明：令，则

在递增而，∴

∴即

∵，∴

∵且在递减

∴，即

②证明：令，下面先证明，

∵，，∴在递增

∴，∴在递增，∴

即在总成立，∵，∴

又

∵由知，

又，且及在递减

∴，即