Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，直线设圆C的半径为1，圆心在直线l上.

（1）若圆心C也在直线上，过点作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使得，求圆心C的横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）所求切线方程为或；（2）

【解析】

（1）先求得圆心，再根据半径为1，可得圆的方程.分类讨论斜率不存在和存在时的情况，由圆心到切线的距离等于半径求得切线方程；
（2）可设圆心，设点，则由可得，设此圆为圆D，由题意可得，圆C和圆D有交点，故两圆相交，由此有，解之可得的取值范围.

（1）由题设，知圆心C是直线和的交点，

所以点C的坐标为，圆C的方程为，

当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为，满足条件；

当过点的切线的斜率存在时，

设切线方程为，

由题意得，解得，

所以切线方程为.

故所求切线方程为或.

（2）因为圆心C在直线上，

所以设点C的坐标为，

圆C的方程为，

设点，因为，

所以，

化简得，即，

所以点M在以点为圆心，2为半径的圆上.

由题意，点在圆C上，

所以圆C与圆D有公共点，

则，即，

解得.

所以圆心C的横坐标的取值范围为.