题目内容
已知向量
=（sinx，1），
=（cosx，
）
（1）当
⊥
时，求|
+
|的值；
（2）求函数f（x）=
-（2
-
）+cos2x的单调增区间．
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
（1）当
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）求函数f（x）=
| a |
| b |
| a |
分析：（1）利用向量坐标的数量积即可求得当
⊥
时，求|
+
|的值；
（2）利用向量的坐标运算与三角函数中的恒等变换可求得f（x）=
sin（2x+
）-2，利用正弦函数的单调性即可求得函数f（x）=
-（2
-
）+cos2x的单调增区间．
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）利用向量的坐标运算与三角函数中的恒等变换可求得f（x）=
| 2 |
| π |
| 4 |
| a |
| b |
| a |
解答：解：（1）当
⊥
时，|
+
|2=
2+2
•
+
2=sin2x+1+cos2x+
=
，
∴|
+
|=
…（4分）
（2）f（x）=
-（2
-
）+cos2x=2sinxcosx-1-sin2x-1+cos2x
=sin2x+cos2x-2
=
sin（2x+
）-2…（8分）
当2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z）时，f（x）单调递增，
解得kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
]（k∈Z）…（12分）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
∴|
| a |
| b |
| 3 |
| 2 |
（2）f（x）=
| a |
| b |
| a |
=sin2x+cos2x-2
=
| 2 |
| π |
| 4 |
当2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
解得kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换，求得f（x）=
sin（2x+
）-2是关键，属于中档题．
| 2 |
| π |
| 4 |
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