Question

【题目】已知函数（为自然对数的底, 为常数）.

（Ⅰ）讨论函数的单调性;

（Ⅱ）对于函数和,若存在常数,对于任意,不等式都成立,则称直线是函数的分界线,设,问函数与函数是否存在“分界线”？若存在,求出常数;若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，得在上单调递增，再分和两种情况讨论，即可求解函数的单调性；

（Ⅱ）把存在恒成立，转化为恒成立，进而只需判断是否恒成立，设出新函数，利用导数得到函数单调性和最值，即可求解实数的值．

试题解析：

（Ⅰ）当时, ,则在上单调递增

当时, ,令

若,则随的变化情况如下表：

则在单调递减,在单调递增

若,则随的变化情况如下表：

则在单调递增,在单调递减

综上,当时, 在R上单调递增;当时, 在单调递减,在单调递增;当时, 在单调递增,在单调递减

（Ⅱ）若存在,则恒成立,令,则,则

恒成立即恒成立,由得

现在只需判断是否恒成立

设,则,令

且当时, ;当时,

则在处取得最小值,且

则恒成立,即证恒成立

故存在分界线,且, ,