Question

设向量

m

=(x，y)，(x≥0，y≥0)，|

m

|=1，

n

=(1，

3

)，a=

m

•

n

，则T=(a-

2

a

)2+2(a+

2

a

)的最大值为（　　）

• A、8
• B、7
• C、4

  2

• D、4

  2

  +1

Answer 1

分析：本题是向量的运算与求函数最值结合的题，由题设条件可以得出，需要先进行向量运算求出a的取值范围，再求出T在a的取值范围内的值域，选出正确选项

解答：解：∵|

m

|=1，x≥0，y≥0
可设

m

=(cosθ，sinθ)，θ∈[0，

π

2

]，又

n

=(1，

3?

)，
∴a=

m

•

n

=cosθ+

3

sinθ=2sin(θ+

π

6

)，θ∈[0，

π

2

]
∴a∈[1，2]
T=(a-

2

a

)2+2(a+

2

a

)=(a+

2

a

)2+2(a+

2

a

)-8=(a+

2

a

+1)2-9
∵a∈[1，2]
∴a+

2

a

+1∈[2

2

+1，4]
∴T=(a-

2

a

)2+2(a+

2

a

)的最大值为16-9=7
故选B

点评：本题考查平面向量综合题，解题的关键是熟练掌握向量的运算，本题中根据向量的模为1，将其坐标设为关于角的三角函数，使得求a的取值范围变得容易，如果转化也加大了知识覆盖面，本题中由a的取值范围求T的最值是一个难点，可借助函数的a+

2

a

+1在a∈[1，2]上的单调性求出最值，本题涉及到了向量三角，函数的单调性，涉及到的考点多，综合性强，考查了转化的思想及根据题设条件灵活选择解题的方法的能力．