Question

已知椭圆C：的右焦点为F₁（1，0），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及左顶点P的坐标；
（Ⅱ）设过点F₁的直线交椭圆C于A，B两点，若△PAB的面积为，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用椭圆的右焦点为F₁（1，0），离心率为，建立方程，结合b²=a²-c²，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理面结合△PAB的面积为，即可求直线AB的方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，，所以a=2，所以b²=a²-c²=3．
所以椭圆C的标准方程为，左顶点P的坐标是（-2，0）．…（4分）
（Ⅱ）根据题意可设直线AB的方程为x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由可得：（3m²+4）y²+6my-9=0．
所以△=36m²+36（3m²+4）＞0，y₁+y₂=-，y₁y₂=-．…（7分）
所以△PAB的面积S==．…（10分）
因为△PAB的面积为，所以=．
令t=，则，解得t₁=（舍），t₂=2．
所以m=±．
所以直线AB的方程为x+y-1=0或x-y-1=0．…（13分）
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．