Question

设复数z₁=x+yi（x，y∈R，y≠0），复数z₂=cosα+isinα（α∈R），且

z

2 1

+2

.

z1

∈R，z1在复平面上所对应点在直线y=x上，求|z₁-z₂|的取值范围．

Answer 1

分析：先根据题中的两个条件建立方程组，解出复数z₁后，化简|z₁-z₂|的解析式，利用正弦函数的有界性求出|z₁-z₂|的取值范围．

解答：解：

z12+2z1∈R Z1=z1

 ?

x2-y2+2xyi+2x-2yi∈R x=y≠0

，
?

2xy-2y=0 x=y≠0

，∴x=y=1，∴z₁=1+i，
|z₁-z₂|=

(1-cosα)2+(1-sinα)2

=

3-2 2 sin(α+ π 4 )

，
∴|z₁-z₂|∈[

2

-1，

2

+1]．

点评：本题考查求复数的模的方法，复数为实数的条件，三角公式的应用及正弦函数的有界性．