Question

根据市场调查，某商品在最近的20天内的价格f（t）与时间t满足关系f（t）=

t+20(0≤t＜10，t∈N) -t+40(10≤t≤20，t∈N)

，销售量g（t）与时间t满足关系个g（t）=-t+30，（0≤t≤20，t∈N），设商品的日销售额为F（t）（销售量与价格之积）．
（1）求商品的日销售额F（t）的解析式；
（2）求商品的日销售额F（t）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据题设条件，由商品的日销售额F（t）=f（t）g（t），能够求出F（t）的解析式．
（2）当0≤t＜10，t∈N时，F（t）=-t²+10t+600=-（t-5）²+625，当10≤t≤20，t∈N时，F（t）=t²-70t+1200=（t-35）²-25，根据二次函数的性质，分别求解每段函数的最大值，由此能求出商品的日销售额F（t）的最大值．

解答：解：（1）据题意，商品的日销售额F（t）=f（t）g（t），
得F（t）=

(t+20)(-t+30)，0≤t＜10，t∈N (-t+40)(-t+30)，10≤t≤20，t∈N

即F（t）=

-t2+10t+600，(0≤t＜10，t∈N) t2-70t+1200，(10≤t≤20，t∈N)

（6分）
（2）当0≤t＜10，t∈N时，
F（t）=-t²+10t+600=-（t-5）²+625，
∴当t=5时，F（t）_max=625；
当10≤t≤20，t∈N时，
F（t）=t²-70t+1200=（t-35）²-25，
∴当t=10时，F（t）_max=600＜625
综上所述，当t=5时，日销售额F（t）最大，且最大值为625．（12分）

点评：本题考查函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点．