Question

如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（

3

2

，

1

2

，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量

OD

的坐标；
（Ⅱ）设向量

AD

和

BC

的夹角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，根据题意可得BD=1，CD=

3

，所以DE=CD•sin30°=

3

2

．即可得到OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-

1

2

=

1

2

，进而得到点D的坐标．
（2）依题意可得：分别求出

AD

和

BC

的坐标表示，进而得到答案．

解答：解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，
在Rt△BDC中，因为∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
所以可得BD=1，CD=

3

，
∴DE=CD•sin30°=

3

2

．
所以OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-

1

2

=

1

2

，
∴D点坐标为（0，-

1

2

，

3

2

），
所以

OD

=（0，-

1

2

，

3

2

）．
（2）依题意可得：

OA

=(

3

2

，

1

2

，0)，

OB

=(0，-1，0)，

OC

=(0，1，0)，
所以

AD

=

OD

-

OA

=(-

3

2

，-1，

3

2

)，

BC

=

OC

-

OB

=(0，2，0)．
因为向量

AD

和

BC

的夹角为θ，
所以cosθ=

AD • BC

| AD |•| BC |

=

- 3 2 ×0+(-1)×2+ 3 2 ×0

(- 3 2 )2+(-1)2+( 3 2 )2 • 02+22+02

=-

1

5

10

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到线面关系建立坐标系，再利用向量的有关知识解决空间问题．