Question

设f（x）是定义域为R的周期函数，且f（x）最小正周期为2，且f（1+x）=f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）=-x．
（1）判定f（x）的奇偶性；
（2）试求出函数f（x）在[-1，2]上的表达式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是最小正周期为 2的函数，且f（1+x）=f（1-x），知f（1+x）=f（-（1+x）），得f（x）是偶函数；
（2）由-1≤x≤0时，f（x）=-x，得0≤x≤1时，f（x）；由f（x）是最小正周期为 2的函数，得1≤x≤2时，f（x）；

解答：解：（1）∵f（x）是R上的周期函数，最小正周期为2，且f（1+x）=f（1-x），
∴对于任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）=f（1-x-2）=f（-1-x）=f（-（1+x）），
即f（-x）=f（x）；所以，f（x）是R上的偶函数；
（2）∵当-1≤x≤0时，f（x）=-x，
∴当0≤x≤1时，有-1≤-x≤0，
∴f（-x）=-（-x）=x，又f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），∴f（x）=x；
当1≤x≤2时，有-1≤x-2≤0，且f（x）是最小正周期为 2的函数，
∴f（x）=f（x-2）=-（x-2）=-x+2；
∴f（x）在[-1，2]上的表达式为：f（x）=

-x      (-1≤x≤0) x         (0≤x≤1) -x+2  (1≤x≤2)

；

点评：本题考查了函数的解析式求法，奇偶性的判定等知识，是基础题．