Question

二项式(x3+

1

5x2

)n的展开式中所有二项式系数的和为32，且此二项展开式中x¹⁰项的系数为a，则

∫

a 0

(x2+ex)dx的值为

e-

2

3

．

Answer 1

分析：根据所有二项式系数的和为2ⁿ=32，求得 n=5．由此求得二项式的通项公式，令x的幂指数等于10，求得r=1，从而求得此二项展开式中x¹⁰项的系数为a=1，
从而求得

∫

a 0

(x2+ex)dx 的值．

解答：解：由于二项式(x3+

1

5x2

)n的展开式中所有二项式系数的和为2ⁿ=32，∴n=5．
故二项式的通项公式为 T_r+1=

C

r 5

•5^-r•x^15-3r•x^-2r=5^-r•

C

r 5

•x^15-5r，令15-5r=10，r=1，
故此二项展开式中x¹⁰项的系数为a=

1

5

×5=1，则

∫

a 0

(x2+ex)dx=（

x3

3

+e^x）

|

1 0

=e-

2

3

，
故答案为 e-

2

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．