题目内容
已知以角B为钝角的△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+cosC的取值范围．
分析：（1）利用
•
=0，结合正弦定理，求出sinB=
，B为钝角，所以角B=
．
（2）利用和差化积化简cosA+cosC=2cos
cos
=
cos(C-
)，由（1）知A∈(0，
)，A+
∈(
，
)，确定cosA+cosC的取值范围即可．
| m |
| n |
| ||
| 2 |
| 2π |
| 3 |
（2）利用和差化积化简cosA+cosC=2cos
| A+C |
| 2 |
| A-C |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
解答：解：（1）∵
⊥
．∴
•
=0，得
a-2bsinA=0（2分）
由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，代入得：（3分）
sinA-2sinBsinA=0，sinA≠0，
∴sinB=
，（5分）
B为钝角，所以角B=
．（7分）
（2）（理科）∵cosA+cosC=2cos
cos
=
cos(C-
)
（或：cosA+cosC=cosA+cos(
-A)=cosA+
cosA+
sinA=
sin(A+
)）（10分）
由（1）知A∈(0，
)，A+
∈(
，
)，
∴sin(A+
)∈(
，1]（12分）
故cosA+cosC的取值范围是(
，
]
| m |
| n |
| m |
| n |
| 3 |
由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，代入得：（3分）
| 3 |
∴sinB=
| ||
| 2 |
B为钝角，所以角B=
| 2π |
| 3 |
（2）（理科）∵cosA+cosC=2cos
| A+C |
| 2 |
| A-C |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
（或：cosA+cosC=cosA+cos(
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
由（1）知A∈(0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴sin(A+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
故cosA+cosC的取值范围是(
| 3 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，余弦定理的应用，平面向量的数量积的应用，考查计算能力，常考题型．
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，
，且
．
的取值范围．