Question

已知以角B为钝角的△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

m

=(a，  2b)，

n

=(1，  -sinA)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+cosC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要求角B的大小，可先由题设条件建立与角B有关的方程，由题设条件，

m

=(a，  2b)，

n

=(1，  -sinA)，且

m

⊥

n

易得角B的方程，对此方程进行化简整理即可得到角B的大小；
（2）由（1）可得，C=

π

6

-A，由此可将sinA+cosC表示为角A的函数，即sinA+cosC=

3?

sin(A+

π

6

)，再由A∈（0，

π

6

），解出sinA+cosC的取值范围

解答：解：（1）

m

=（a，2b），

n

=（1，-sinA），且

m

⊥

n

，∴a-2bsinA=0----------2’
由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB
可得：sinA-2sinB•sinA=0---3’
∵sinA≠0，化简求得：sinB=

1

2

-------------------------------------------------5’
∵B为钝角，∴A=

5π

6

----------------------------------------------------------------7’
（2）∵sinA+cosC=sinA+cos(

π

6

-A)=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA-----------8’
=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

sin(A+

π

6

)-------------------------10’
A∈（0，

π

6

），∴A+

π

6

∈(

π

6

，

π

3

)，∴sin(A+

π

6

)∈(

1

2

，

3

2

)---------------12’
∴sinA+cosC
的取值范围为(

3

2

，

3

2

)------------------------------------------------14’

点评：本题考查了平面向量垂直的坐标表示，两角和与差的正、余弦函数公式，边角之间的关系，解题的关键是熟练掌握这些公式，能根据公式灵活进行变形，本题是向量与三角基本公式应用题，属于考查基础知识与基本技能的题