Question

9．设log_ac，log_bc是方程x²-4x+1=0的两根，求log${\;}_{\frac{b}{a}}$c的值．

Answer 1

分析 log_ac，log_bc是方程x²-4x+1=0的两根，可得log_ac+log_bc=4，log_ac•log_bc=1．可得lga=$（2+\sqrt{3}）$lgc，lgb=（2-$\sqrt{3}$）lgc；或lgb=$（2+\sqrt{3}）$lgc，lga=（2-$\sqrt{3}$）lgc．即可得出．

解答 解：∵log_ac，log_bc是方程x²-4x+1=0的两根，
∴log_ac+log_bc=4，log_ac•log_bc=1．
∴$\frac{lgc}{lga}+\frac{lgc}{lgb}$=4，$\frac{lgc}{lga}•\frac{lgc}{lgb}$=1．
∴lga=$（2+\sqrt{3}）$lgc，lgb=（2-$\sqrt{3}$）lgc；
或lgb=$（2+\sqrt{3}）$lgc，lga=（2-$\sqrt{3}$）lgc．
∴lga-lgb=2$\sqrt{3}$lgc或lga-lgb=-2$\sqrt{3}$lgc
∴log${\;}_{\frac{b}{a}}$c=$\frac{lgc}{lgb-lga}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$或-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了对数的运算性质、换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．