Question

已知椭圆经过点．

（1）求椭圆的方程及其离心率；

（2）过椭圆右焦点的直线（不经过点）与椭圆交于两点，当的平分线为 时，求直线的斜率．

 

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识，考查学生的数形结合思想、转化能力、计算能力.第一问，椭圆过点P，说明点P在椭圆上，符合解析式，即可求出，从而得到椭圆的标准方程，通过椭圆的标准方程得到，，，从而得到离心率；第二问，由第一问得到椭圆右焦点F的坐标，由P、F点坐标可知轴，由题意得，令直线AB的方程与椭圆方程联立，得到A、B坐标，结合P点坐标，得出和代入到中，解出直线AB的斜率k的值.

（1）把点代入，可得．

故椭圆的方程为，椭圆的离心率为．　……4分

（2）由（1）知：．

当的平分线为时，由和知：轴．

记的斜率分别为．所以，的斜率满足……6分

设直线方程为，代入椭圆方程并整理可得，

．

设，则

又，则，

．……………………8分

所以=

…………11分

即． ． ……………13分

考点：椭圆的标准方程以及几何性质、直线与椭圆相交问题.