Question

已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且是其中一个零点．

（1）求的值；

（2）求的取值范围；

（3）设，且的解集为，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1），（2），（3）

【解析】

试题分析：（1）函数在处单调性发生变化，所以，由得.（2）因为，所以，因此因为函数在上有三个零点，所以必有两个不等的根，．又在上是增函数，所以大根不小于1，即，，故的取值范围为．（3）已知不等式解集求参数取值范围，有两个解题思路，一是解不等式，根据解集包含关系对应参数取值范围.二是转化，将不等式在区间有解理解为恒成立问题，利用函数最值解决参数取值范围.本题由于已知是其中一个零点，所以两个方法都简便.否则应利用变量分离求最值法.

试题解析：（1）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴． 1分

∵f（x）在上是减函数，在上是增函数，

∴当时，取到极小值，即．∴． 3分

（2）由（1）知，，

∵是函数的一个零点，即，∴． 5分

∵的两个根分别为，．

又∵在上是增函数，且函数在上有三个零点，

∴，即． 7分

∴．

故的取值范围为． 9分

（3）解法1：由（2）知，且．

∵是函数的一个零点，∴，

∵，∴，

∴点是函数和函数的图像的一个交点． 10分

结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为．

即方程组①只有一组【解析】
11分

由，得．

即．

即．

∴或． 12分

由方程②

得．∵，

当，即，解得． 13分

此时方程②无实数解，方程组①只有一个解

所以时，的解集为． 14分

（3）解法2：由（2）知，且．

∵1是函数的一个零点

又的解集为，

∴的解集为． 10分

．

． 12分

．

． 14分

考点：利用导数求参数取值范围