Question

已知数列a_n为等差数列，a_p＝q，a_q＝p．(p≠q)，求a_p＋q．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：∵ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d ∴                                                                                             ① 两式相减，得(p－q)d＝q－p，∵p≠q，∴d＝－1． 代入①，有a1＋(p－1)(－1)＝q．∴a1＝p＋q－1 故ap＋q＝a1＋(p＋q－1)d＝p＋q－1＋(p＋q－1)·(－1)＝0． 解法二：∵ap＝aq＋(p－q)d，∴q＝p＋(p－q)d， 即q－p＝(p－q)d，∵p≠q，∴d＝－1 故ap＋q＝ap＋［(p＋q)－p］d＝q＋q(－1)＝0． 解法三：不妨设p<q，由于等差数列中，an关于n的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点（p，ap），(q，aq)，(p＋q，ap＋q)共线． 设△ABE∽△BCF，得， ∴． ∴1＝， 得m＝0，即ap＋q＝0．