Question

已知半圆x²+y²=4（y≥0），动圆与此半圆相切且与x轴相切．
（1）求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形．
（2）是否存在斜率为

1

3

的直线l，它与（1）中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于A、B、C、D四点，且满足|AD=2|BC|．若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出动圆圆心M的坐标，且过圆心作x轴的垂线MN，垂足为N，当两圆外切时，根据两圆外切时两圆心的距离等于两半径相加，可得|MO|等于|MN|+2，利用两点间的距离公式化简可得动圆的轨迹方程；当两圆内切时，根据两圆心之间的距离等于两半径相减可得，|MO|等于2-|MN|，利用两点间的距离公式可得动圆的轨迹方程，分别根据求出的轨迹方程在平面直角坐标系中画出相应的图象即可；
（2）根据已知直线的斜率设出直线的方程，联立所设直线与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据|AD=2|BC|，利用韦达定理化简即可求出点A和点D的横坐标，根据动圆方程轨迹方程可得曲线横坐标范围，可得这样的直线不存在．

解答：解：（1）设动圆圆心为M（x，y），做MN⊥x轴交x轴于N．
若两圆外切，|MO|=|MN|+2，
所以

x2+y2

=y+2，
化简得x²=4（y+1）（y＞0）；
若两圆内切，|MO|=2-|MN|，
所以

x2+y2

=2-y，
化简得x²=-4（y-1）（y＞0）
综上，动圆圆心的轨迹方程为x²=4（y+1）（y＞0）及x²=-4（y-1）（y＞0），
其图象是两条抛物线位于x轴上方的部分，作简图如图：


（2）设直线l存在其方程可设为y=

1

3

x+b，
依题意，它与曲线x²=4（y+1）（y＞0）交于A，D，
与曲线x²=-4（y-1）（y＞0）交于B，C
由

y= 1 3 x+b x2=4(y+1)

与

y= 1 3 x+b x2=-4(y-1)

得3x²-4x-12b-12=0及3x²+4x+12b-12=0，|AD|=2|BC|，|AD|=

1+( 1 3 )2

|xD-xA|，|BC|=

1+( 1 3 )2

|xB-xC|
∴|x_D-x_A|=2|x_B-x_C|
即(

4

3

)2+4

(12b+12)

3

=4[(-

4

3

)2-4

(12b-12)

3

]
解得b=

2

3

，
将b=

2

3

代入方程3x²-4x-12b-12=0
得xA=-2，xD=

10

3

因为曲线x²=4（y+1）中横坐标范围为（-∞，-2）∪（2，+∞），
所以这样的直线不存在．

点评：此题考查学生掌握圆与圆的位置关系所满足的条件，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．