Question

已知半圆x²+y²=4(y≥0)，动圆与此半圆相切且与x轴相切，
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹，并画出其轨迹图形；
(Ⅱ)是否存在斜率为的直线l，它与(Ⅰ)中所得轨迹的曲线由左到右顺次交于A，B，C，D四点，且满足|AD|=2|BC|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)设动圆圆心为M（x，y），作MN⊥x轴交x轴于N，
若两圆外切，|MO|=|MN|+2，
所以，，
化简，得；
若两圆内切，|MO|=2-|MN|，
所以，；
化简得x²=-4(y-1)(y＞0)；
综上，动圆圆心的轨迹方程为x²=4(y+1)(y＞0)及x²=4(y+l) (y＞0)，
其图象是两条抛物线位于x轴上方的部分，作简图，如下图所示：
。
(Ⅱ)设直线l存在，其方程可设为，
依题意，它与曲线x²=4(y+1)(y＞0)交于A，D，与曲线x²=-4（y -1）(y＞0)交于 B，C，
由于，得3x²-4x-12b-12=0及3x²+4x+12b-12=0，
 ，
，
∴，
即，
解得：，
把代入方程，得，
因为曲线x²=4(y+l)中横坐标范围为(-∞，-2)∪(2，+∞)，所以这样的直线不存在。