题目内容
（2012•河南模拟）当前人们普遍认为拓展训练是一种挑战极限、完善人格的训练，某大学生拓展训练中心着眼于大学生的实际情况，精心地设计了三个相互独立的挑战极限项目，并设置了如下计分办法：
据调查，大学生挑战甲项目的成功概率为
，挑战乙项目的成功概率为
，挑战丙项目的成功概率为
．
（1）求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率；
（2）记该同学挑战三个项目后所得分数为X，求X的分布列并预测该同学所得分数的数学期望．
| 项目 | 甲 | 乙 | 丙 |
| 挑战成功得分 | 10 | 30 | 60 |
| 挑战失败得分 | 0 | 0 | 0 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（1）求某同学三个项目至少一项挑战成功的概率；
（2）记该同学挑战三个项目后所得分数为X，求X的分布列并预测该同学所得分数的数学期望．
分析：（1）利用间接法能够求出甲乙丙这三个项目至少一项挑战成功的概率．
（2）由题意，X的可能取值为0，10，30，40，60，70，90，100，先分别求出P（X=0），P（X=10），P（X=30），P（X=40），P（X=60），P（X=70），P（X=90）和P（X=100），由此能求出X的分布列和E（X）．
（2）由题意，X的可能取值为0，10，30，40，60，70，90，100，先分别求出P（X=0），P（X=10），P（X=30），P（X=40），P（X=60），P（X=70），P（X=90）和P（X=100），由此能求出X的分布列和E（X）．
解答：解：（1）甲乙丙这三个项目至少一项挑战成功的概率：
P=1-（1-
）（1-
）（1-
）=1-
=
．
（2）由题意，X的可能取值为0，10，30，40，60，70，90，100，
P（X=0）=
•
•
=
，
P（X=10）=
•
•
=
，
P（X=30）=
•
•
=
，
P（X=40）=
•
•
=
，
P（X=60）=
•
•
=
，
P（X=70）=
•
•
=
，
P（X=90）=
•
•
=
，
P（X=100）=
•
•
=
，
∴X的分布列为：
∴E（X）=0×
+10×
+30×
+40×
+60×
+70×
+90×
+100×
=60.5．
即该同学所得分数的数学期望为60.5．
P=1-（1-
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 40 |
| 39 |
| 40 |
（2）由题意，X的可能取值为0，10，30，40，60，70，90，100，
P（X=0）=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 40 |
P（X=10）=
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 10 |
P（X=30）=
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 40 |
P（X=40）=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
P（X=60）=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 40 |
P（X=70）=
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 10 |
P（X=90）=
| 1 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 40 |
P（X=100）=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
∴X的分布列为：
| X | 0 | 10 | 30 | 40 | 60 | 70 | 90 | 100 | ||||||||||||||||
| P |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
| 40 |
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
| 10 |
| 1 |
| 40 |
| 1 |
| 10 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
| 10 |
即该同学所得分数的数学期望为60.5．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识和排列组合知识的合理运用．
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