Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，SA⊥平面ABCD，AB=2，AD=1，SB=

7

，∠CAD=90°，点E在棱SD上．
（1）当SE=3ED时，求证：SD⊥平面AEC
（2）当SE=ED时，求直线AE与平面SCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法，结合向量垂直的充要条件，可得SD⊥AC，SD⊥AE，进而由线面垂直的判定定理，得到SD⊥平面AEC
（2）当SE=ED时，先求出E点坐标，进而求出平面SCD的法向量和直线AE的法向量，代入向量夹角公式，可得直线AE与平面SCD所成角的正弦值．

解答：解：依题意CA⊥AD，SA⊥平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则易得 A(0，0，0)，C(

3

，0，0)，D(0，1，0)，S(0，0，

3

)，-----（2分）
证明：（1）∵

SD

=（0，1，-

3

）
由SE=3ED得：

SE

=

3

4

SD

=（0，

3

4

，-

3 3

4

）
∴E(0，

3

4

，

3

4

)，
又∵

AC

=（

3

，0，0），

AE

=(0，

3

4

，

3

4

)
易得

SD • AC =0 SD • AE =0

，
∴SD⊥AC，SD⊥AE
又∵AC∩AE=A，AC，AE?平面ACE
∴SD⊥平面ACE．----（5分）
解：（2）由SE=ED得：

SE

=

1

2

SD

=（0，

1

2

，-

3

2

）
∴E(0，

1

2

，

3

2

)，
设平面SCD的法向量为

n

=（x，y，z）
则

n • DC = 3 x-y=0 n • SD =y- 3 z=0.

，令z=1，得

n

=(1，

3

，1)，----（9分）
从而cos＜

AE

，

n

＞=

AE • n

| AE || n |

=

0•1+ 1 2 3 + 3 2 •1

1• 5

=

15

5

-----（11分）
∴直线AE与平面SCD所成角的正弦值大小为

15

5

．-----（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，将线段垂直问题及线面夹角问题，转化为向量问题是解答的关键．