Question

已知sinα-cosα=

1

2

，且α∈（0，π），则

cos2α

sin(α- π 4 )

的值为______．

Answer 1

∵sinα-cosα=

1

2

，∴（sinα-cosα）²=

1

4

，
化简得，sin²α+cos²α-2sinαcosα=

1

4

，
∵sin²α+cos²α=1，∴有1-2sinαcosα=

1

4

，2sinαcosα=

3

4

，
∴（sinα+cosα）²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+

3

4

=

7

4

，
∵α∈（0，π），2sinαcosα=

3

4

，∴sinα＞0，cosα＞0，
∴sinα+cosα＞0，
∴sinα+cosα=

7

2

．

cos2α

sin(α- π 4 )

=

cos2α-sin2α

sinαcos π 4 -cosαsin π 4

=

(cosα-sinα)(cosα+sinα)

2 2 (sinα -cosα)

=

-(cosα+sinα)

2 2

=-

2

（sinα+cosα）=-

14

2

故答案为-

14

2