Question

已知sinα+cosα=

1

5

且0＜α＜π，求值：
（1）sin³α-cos³α；　　
（2）tanα．

Answer 1

分析：（1）由已知sinα+cosα=

1

5

，平方可得 1+2sinαcosα=

1

25

，解得 2sinαcosα=-

24

25

．再由 0＜α＜π，求得 sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，由此求得sin³α-cos³α 的值．
（2）由（1）求得 sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，再根据 tanα=

sinα

cosα

，运算求得结果．

解答：解：（1）∵已知sinα+cosα=

1

5

，∴平方可得 1+2sinαcosα=

1

25

，∴2sinαcosα=-

24

25

．
再由 0＜α＜π，求得 sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，∴sin³α-cos³α=(

4

5

)3-(-

3

5

)3=

91

125

．
（2）由（1）求得 sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，∴tanα=

sinα

cosα

=-

4

3

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求出 sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

，是解题的关键，属于中档题．