Question

定义数列{a_n}：a₁=1，当n≥2 时，，其中，r≥0常数。
（1） 当r=0时，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n。
①求：S_n；
②求证：数列{S_2n}中任意三项均不能够成等差数列。
（2） 求证：对一切n∈N*及r≥0，不等式恒成立。

Answer 1

解：（1）当r=0时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8，
从而猜出数列均为等比数列。
∵，
∴数列均为等比数列，∴。
①∴，
，
∴。
②证明（反证法）：假设存在三项是等差数列，即成立。
因m，n，p均为偶数，设，
∴，即，
∴，
而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾。
（2）∵，
∴，
∴是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴。
又∵，
∴，
∴是首项为1+2r，公比为2的等比数列，∴，
∴

，
∴
，
∵r≥0，
∴，∴。