Question

设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f^-1（x），且对任意实数x，均有，定义数列a_n：a=8，a₁=10，a_n=f（a_n-1），n=1，2，…．
（1）求证：；
（2）设b_n=a_n+1-2a_n，n=0，1，2，…．求证：（n∈N^*）；
（3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有成立；②当n=2，3，…时，有成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）在已知中，令x=a_n，利用函数、反函数求值知识，根据a_n=f（a_n-1）则f^-1（a_n）=a_n-1，化简整理即可证得；
（2）将（1）变形构造，得出，即有（n∈N^*），连续递推即可证得；
（3）先由①解得A=B=4，再用数学归纳法证明若②能同时成立，则存在，且A=B=4，否则不存在．
解答：解：（1）∵，令x=a_n，∴．
即．
（2）∵，∴，
即．∵b=a₁-2a=-6，
∴（n∈N^*）．
（3）由（2）可知：，
假设存在常数A和B，使得对n=0，1成立，
则，解得A=B=4．
下面用数学归纳法证明对一切n≥2，n∈N成立．
1°当n=2时，由，得，
∴n=2时，成立．
2°假设n=k（k≥2），不等式成立，即，
则==
即是说当n=k+1时，不等式也成立．
所以存在A，B，且A=B=4．
点评：本题考查反函数的概念、不等式的证明、数学归纳法的应用，考查变形转化构造、归纳推理、分析解决、计算等能力，属于难题．